Question

【題目】已知數列{an}滿足a1= ，an+1=10an+1．
（1）證明數列{an+ }是等比數列，并求數列{an}的通項公式；
（2）數列{bn}滿足bn=lg（an+ ），Tn為數列{ }的前n項和，求證：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=10an+1得an+1+ =10an+ =10（an+ ），

∴ =10，

∴數列{an+ }是等比數列，首項為a1+ =100，公比為10，

∴an+ =100×10n﹣1=10n+1，

所以an=10n+1﹣ ．

（2）解：由（1）可得：bn=lg（an+ ）=lg10n+1=n+1，

∴ = = ﹣ ，

∴Tn=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）++（ ﹣ ）= ﹣ ＜ ，

∴Tn＜ ．

【解析】（1）由題意可知：構造等比數列，an+1+ =10an+ =10（an+ ），則數列{an+ }是以100為首項，10為公比的等比數列，利用等比數列通項公式，即可求得數列{an}的通項公式；（2）由（1）可知bn=lg（an+ ）=n+1，利用“裂項法”即可求得Tn，即可求得Tn＜ ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．