Question

【題目】已知圓C1：x2+y2=r2（r＞0）與直線l0：y= 相切，點A為圓C1上一動點，AN⊥x軸于點N，且動點M滿足 ，設動點M的軌跡為曲線C．
（1）求動點M的軌跡曲線C的方程；
（2）若直線l與曲線C相交于不同的兩點P、Q且滿足以PQ為直徑的圓過坐標原點O，求線段PQ長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設動點M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x軸于點N．∴N（x0，0）．

又圓 與直線 即 相切，∴ ．

∴圓 ．

由題意， ，得 ，

∴ ．

∴ ，

即∴

將 代入x2+y2=9，得曲線C的方程為 ．

（2）①假設直線l的斜率存在，設其方程為y=kx+m，設P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立 ，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．

由求根公式得 ．（*）

∵以PQ為直徑的圓過坐標原點O，∴ ．即 ．

∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．

化簡可得， ．

將（*）代入可得 ，即3m2﹣8k2﹣8=0．

即 ，又 ．

將 代入，可得

= ．

∴當且僅當 ，即 時等號成立．又由 ，∴ ，

∴ ．

②若直線l與曲線C相交于不同的兩點P、Q且滿足以PQ為直徑的圓過坐標原點O，求線段PQ長度的取值范圍．

解：若直線l的斜率不存在，因以PQ為直徑的圓過坐標原點O，故可設OP所在直線方程為y=x，

聯立 解得 ，同理求得 ，

故 ．綜上，得 ．

【解析】（1）設動點M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x軸于點N．推出N（x0，0）．通過直線與圓相切，求出圓的方程，然后轉化求解曲線C的方程．（2）①假設直線l的斜率存在，設其方程為y=kx+m，設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理，通過 ，以及弦長公式，利用基本不等式求出范圍．②若直線l的斜率不存在，設OP所在直線方程為y=x，類似①求解即可．