Question

【題目】[選修4-4：參數方程與極坐標系]
已知曲線C1的參數方程為 （t為參數），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為 ．
（Ⅰ）求曲線C2的直角坐標系方程；
（Ⅱ）設M1是曲線C1上的點，M2是曲線C2上的點，求|M1M2|的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由ρ= 可得ρ=x+2，∴ρ2=（x+2）2①，

∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴x2+y2=ρ（cos2θ+sin2θ）=ρ2②

由①②兩式子可得

y2=4（x+1）；

（Ⅱ）曲線C1的參數方程為 （t為參數），消去t得：2x+y+4=0．

∴曲線C1的直角坐標方程為2x+y+4=0．

∵M1是曲線C1上的點，M2是曲線C2上的點，

∴|M1M2|的最小值等于M2到直線2x+y+4=0的距離的最小值．

設M2（r2﹣1，2r），M2到直線2x+y+4=0的距離為d，

則d= = ≥ ．

∴|M1M2|的最小值為 ．

【解析】（Ⅰ）把 變形，得到ρ=ρcosθ+2，結合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；

（Ⅱ）由 （t為參數），消去t得到曲線C1的直角坐標方程為2x+y+4=0，由M1是曲線C1上的點，M2是曲線C2上的點，把|M1M2|的最小值轉化為M2到直線2x+y+4=0的距離的最小值．設M2（r2﹣1，2r），然后由點到直線的距離公式結合配方法求解．