Question

【題目】如圖，AB與圓O相切于點B，CD為圓O上兩點，延長AD交圓O于點E，BF∥CD且交ED于點F
（Ⅰ）證明：△BCE∽△FDB；
（Ⅱ）若BE為圓O的直徑，∠EBF=∠CBD，BF=2，求ADED．

Answer 1

【答案】解：

（Ⅰ）證明：∵BF∥CD；

∴∠EDC=∠BFD，

又∠EBC=∠EDC，

∴∠EBC=∠BFD，

又∠BCE=∠BDF，

∴△BCE∽△FDB．

（Ⅱ）因為∠EBF=∠CBD，所以∠EBC=∠FBD，

由（Ⅰ）得∠EBC=∠BFD，所以∠FBD=∠BFD，

又因為BE為圓O的直徑，

所以△FDB為等腰直角三角形，BD= BF= ，

因為AB與圓O相切于B，所以EB⊥AB，即ADED=BD2=2

【解析】（Ⅰ）根據BF∥CD便有∠EDC=∠BFD，再根據同一條弦所對的圓周角相等即可得出∠EBC=∠BFD，∠BCE=∠BDF，這樣即可得出：△BCE與△FDB相似；（Ⅱ）根據條件便可得出∠EBC=∠FBD，再由上面即可得出∠FBD=∠BFD，這樣即可得出△FDB為等腰直角三角形，從而可求出BD= ，根據射影定理即可求出ADED的值．
【考點精析】掌握相似三角形的判定是解答本題的根本，需要知道相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．