Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+x2 ．
（1）若函數g（x）=f（x）﹣ax在其定義域內為增函數，求實數a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的極小值；
（3）設F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函數F（x）存在兩個零點m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．問：函數F（x）在點（x0 ， F（x0））處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，

由題意知，g′（x）≥0，對任意的x∈（0，+∞）恒成立，即

又∵x＞0， ，當且僅當 時等號成立

∴ ，可得

（2）解：由（1）知， ，令t=ex，則t∈[1，2]，則

h（t）=t3﹣3at，

由h′（t）=0，得 或 （舍去），

∵ ，∴

若 ，則h′（t）＜0，h（t）單調遞減；若 ，則h′（t）＞0，h（t）單調遞增

∴當 時，h（t）取得極小值，極小值為

（3）解：設F（x）在（x0，F（x0））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx

結合題意，有

①﹣②得

所以 ，由④得

所以 ⑤

設 ，⑤式變為

設 ，

所以函數 在（0，1）上單調遞增，

因此，y＜y|u=1=0，即 ，也就是 此式與⑤矛盾

所以F（x）在（x0，F（x0））的切線不能平行于x軸

【解析】（1）先根據題意寫出：g（x）再求導數，由題意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即 由此即可求得實數a的取值范圍；（2）由（1）知 ，利用換元法令t=ex ， 則t∈[1，2]，則h（t）=t3﹣3at，接下來利用導數研究此函數的單調性，從而得出h（x）的極小值；（3）對于能否問題，可先假設能，即設F（x）在（x0 ， F（x0））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx結合題意，列出方程組，證得函數 在（0，1）上單調遞增，最后出現矛盾，說明假設不成立，即切線不能否平行于x軸．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．