Question

【題目】已知函數f（x）=aex（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲線c1：y=f（x）與曲線c2：y=g（x）存在公切線，求a最大值．
（Ⅱ）當a=1時，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）內有零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設公切線l與c1切于點（x1 ， a ）與c2切于點（x2 ， ）， ∵f′（x）=aex ， g′（x）=2x，
∴ ，由①知x2≠0，
①代入②得： =2x2 ， 即x2=2x1﹣2，
由①知a= ，
設g（x）= ，g′（x）= ，
令g′（x）=0，得x=2；當x＜2時g′（x）＞0，g（x）遞增．
當x＞2時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
∴x=2時，g（x）max=g（2）= ，∴amax= ．
（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1=ex﹣bx2﹣cx﹣1，
∵F（2）=0=F（0），又F（x）在（0，2）內有零點，
∴F（x）在（0，2）至少有兩個極值點，
即F′（x）=ex﹣2bx﹣c在（0，2）內至少有兩個零點．
∵F″（x）=ex﹣2b，F（2）=e2﹣4b﹣2c﹣1=0，c= ，
①當b≤ 時，在（0，2）上，ex＞e0=1≥2b，F″（x）＞0，
∴F″（x）在（0，2）上單調增，F′（x）沒有兩個零點．
②當b≥ 時，在（0，2）上，ex＜e2≤2b，∴F″（x）＜0，
∴F″（x）在（0，2）上單調減，F′（x）沒有兩個零點；
③當 ＜b＜ 時，令F″（x）=0，得x=ln2b，
因當x＞ln2b時，F″（x）＞0，x＜ln2b時，F″（x）＜0，
∴F″（x）在（0，ln2b）遞減，（ln2b，2）遞增，
所以x=ln2b時，∴F′（x）最小=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣ + ，
設G（b）=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣ + ，
令G′（b）=2﹣2ln2b=0，
得2b=e，即b= ，當b＜ 時G′（b）＞0；當b＞ 時，G′（b）＜0，
當b= 時，G（b）最大=G（ ）=e+ ﹣ ＜0，
∴G（b）=f′（ln2b）＜0恒成立，
因F′（x）=ex﹣2bx﹣c在（0，2）內有兩個零點，
∴ ，
解得： ＜b＜ ，
綜上所述，b的取值范圍（ ， ）
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，得到x2=2x1﹣2，由a= ，設g（x）= ，根據函數的單調性求出a的最大值即可；（Ⅱ）求出函數的導數，問題轉化為F′（x）=ex﹣2bx﹣c在（0，2）內至少有兩個零點，通過討論b的范圍，求出函數的單調區間，從而確定b的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．