Question

【題目】設.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，在內是否存在一實數，使成立？請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，見解析

【解析】

（Ⅰ）當時，，求得切點，得到曲線在點處的切線的斜率，再由直線方程點斜式求解；

（Ⅱ）假設當時，在存在一點，使成立，則只需證明時，即可.利用導數證明函數在上遞減，在上遞增，則.于是，只需證明或即可.然后證明成立，可得當時，在上至少存在一點，使成立.

（Ⅰ）當時，，∴切點為，

又∵.

∴曲線在點處的切線的斜率為.

∴所求切線方程為，即；

（Ⅱ）假設當時，在存在一點，使成立，

則只需證明時，即可.

，

令得，，當時，，

當時，，當時，.

函數在上遞減，在上遞增，

∴.

于是，只需證明或f（）>e-1即可.

∵.

∴成立.

∴假設正確，即當時，在上至少存在一點，使成立.