Question

【題目】已知，函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在上遞減, 求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時，求的最小值的最大值；

（Ⅲ）設(shè)，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）的最大值為;（Ⅲ）見解析.

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，由函數(shù)為減函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)小于或等于零，從而可算出實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極小值函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出極小值函數(shù)的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可結(jié)論，對參數(shù)時行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求其最小值，從而問題可得證.

試題解析：（Ⅰ） 函數(shù)在上遞減, 恒有成立,

而,恒有成立,

而, 則滿足條件.

（Ⅱ）當(dāng)時,

	－	0	＋
	↘	極小值	↗

的最小值=，

	＋	0	－
	↗	極大值	↘

的最大值為

（Ⅲ） 當(dāng)時，

所以在上是增函數(shù)，故

當(dāng)時，

解得或，

綜上所述：