Question

【題目】已知橢圓的長軸長為，焦距為2，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過的左焦點.

（1）求與的方程；

（2）直線經(jīng)過的上頂點且與交于，兩點，直線，與分別交于點（異于點），（異于點），證明：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）的方程為，的方程為.（2）證明見解析

【解析】

（1）長軸長為，焦距為，在橢圓中，求出的值，寫出橢圓方程；寫出拋物線的準(zhǔn)線方程，代入點坐標(biāo)，求出的值，寫出拋物線方程.

（2）先探究直線的斜率是否存在，寫出直線方程，再與曲線方程聯(lián)立求解．

（1）解：由題意，得，，所以，，所以，所以的方程為，

所以，由于的準(zhǔn)線經(jīng)過點，所以，

所以，故的方程為.

（2）證明：由題意知，的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，

由，得.

設(shè)，，則，

即且，，.

又直線的方程為，

由得，

所以，所以，從而的坐標(biāo)為.

同理可得的坐標(biāo)為，

所以為定值.