Question

【題目】無窮數(shù)列 ，若存在正整數(shù)，使得該數(shù)列由個互不相同的實數(shù)組成，且對于任意的正整數(shù)，中至少有一個等于，則稱數(shù)列具有性質(zhì).集合.

（1）若，，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)；

（2）數(shù)列具有性質(zhì)，且，求的值；

（3）數(shù)列具有性質(zhì)，對于中的任意元素，為第個滿足的項，記 ，證明：“數(shù)列具有性質(zhì)”的充要條件為“數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，且每個周期均包含個不同實數(shù)”.

Answer 1

【答案】(1)具有；(2)2；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知是周期為2的周期數(shù)列，對于任意的正整數(shù)，，滿足性質(zhì)的條件，故數(shù)列具有性質(zhì).

（2）由條件可知，考慮后面連續(xù)三項，由反證法可知.同理可得.

（3）充分性：由數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，每個周期均包含中個不同元素.則由周期性得，于是數(shù)列為常數(shù)列，顯然滿足性質(zhì).

必要性：取足夠大的使包含中所有個互不相同的元素，考慮后的連續(xù)項，由反證法可知中任意元素，必等于中的某一個，再由數(shù)列性質(zhì)中的條件得，，則數(shù)列為常數(shù)列，為常數(shù)列，據(jù)此可得數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，且每個周期均包含個不同實數(shù).

試題解析：

（1）因為，，是由2個不同元素組成的無窮數(shù)列，且是周期為2的周期數(shù)列，故，是周期為2的周期數(shù)列，對于任意的正整數(shù)，，滿足性質(zhì)的條件，故數(shù)列具有性質(zhì).

（2）.由條件可知，考慮后面連續(xù)三項，若，

由及性質(zhì)知中必有一數(shù)等于2，

于是中有兩項為2，故必有1或3不在其中，

不妨設(shè)為，考慮中最后一個等于的項，

則該項的后三項均不等于，故不滿足性質(zhì)中條件，矛盾，

于是.同理.

（3）充分性：由數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，每個周期均包含中個不同元素.

對于中的任意元素，為第個滿足的項，

故由周期性得，

于是，數(shù)列為常數(shù)列，顯然滿足性質(zhì).

必要性：取足夠大的使包含中所有個互不相同的元素，

考慮后的連續(xù)項，

對于中任意元素，必等于中的某一個，

否則考慮中最后一個等于的項，該項不滿足性質(zhì)中條件，矛盾.

由的任意性知這個元素恰好等于中個互不相同的元素，

再由數(shù)列性質(zhì)中的條件得，，

于是對于中的任意元素，存在，有 ，

即數(shù)列為常數(shù)列，

而數(shù)列滿足性質(zhì)，故為常數(shù)列，

從而是周期數(shù)列，故數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，

且每個周期均包含個不同實數(shù).