Question

【題目】已知數列滿足 ,它的前項和為，且，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）已知等比數列滿足， ，設數列的前項和為，求．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;當時，．

【解析】試題分析：（1）由2an+1=an+an+2判斷出數列{an}是等差數列，將a3=5，S6=36用基本量表示得到關于首項、公差的方程組，求出首項、公差，利用等差數列的通項公式求出an；（2）將b1+b2=1+a，b4+b5=a3+a4兩個式子作商求出公比，利用等比數列的通項公式求出通項，由于anbn=（2n﹣1）an﹣1．所以利用錯位相減的方法求出數列{anbn}的前n項和為Tn．

詳解：（1）由2an+1=an+an+2得an+2﹣an+1=an+1﹣an，

則數列{an}是等差數列．

∴

因此，an=2n﹣1．

（2）設等比數列{bn}的公比為q，

∵=，

∴q=a．

由b1+b2=1+a，得b1（1+a）=1+a．

∵a≠﹣1，

∴b1=1．

則bn=b1qn﹣1=an﹣1，anbn=（2n﹣1）an﹣1．

Tn=1+3a+5a2+7a3+…+（2n﹣1）an﹣1…①

當a≠1時，aTn=a+3a2+5a3+7a4+…+（2n﹣1）an…②

由①﹣②得（1﹣a）Tn=1+2a+2a2+2a3+…+2an﹣1﹣（2n﹣1）an

=，

．

當a=1時，Tn=n2．