Question

【題目】已知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ， ，且經(jīng)過點(diǎn) .
（Ⅰ）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 的頂點(diǎn)都在橢圓 上，其中 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，試問 能否為正三角形？并說明理由.

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)設(shè)橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，
依題意得 ，
，
所以 ， ，
故橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
(Ⅱ)若 為正三角形，則 且 ，

顯然直線 的斜率存在且不為0，
設(shè) 方程為 ，
則 的方程為 ，聯(lián)立方程 ，
解得 ， ，
所以 ，
同理可得 .
又 ，所以 ，
化簡(jiǎn)得 無實(shí)數(shù)解，
所以 不可能為正三角形
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題目中所給的條件的特點(diǎn)，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并得到c，再由定義求得a，結(jié)合條件求得b，橢圓方程可求；
（Ⅱ）根據(jù)題意，直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)AB方程為y=kx，寫出直線OC的方程，分別聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求出A，C的坐標(biāo)，得到|OC|與|OA|，代入條件得出k無實(shí)數(shù)解，說明△ABC不可能為正三角形．