Question

【題目】已知 .
（Ⅰ）對一切 恒成立，求實數 的取值范圍；
（Ⅱ）證明：對一切 ，都有 成立．

Answer 1

【答案】解：（I） ，則 ，
設 ，則 ，
單調遞減，② 單調遞增，
所以 ，對一切 恒成立，所以 ；
（Ⅱ）問題等價于證明 ，
由（1）可知 的最小值是 ，當且僅當 時取到，
設 ，則 ，易知
，當且僅當 時取到，
從而對一切 ，都有 成立
【解析】本題主要考查函數的單調性、最值問題，以及導數的應用和不等式的證明問題。（1）把恒成立的問題要利用轉化的思想進行等價轉化，把不等式2 f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立的問題轉化為a ≤ 2 ln x + x + 3 /x恒成立的問題，進而利用導數求解最小值即可求出a的取值范圍。（2）要證明的不等式問題要轉化為證明 x ln x > x/ e x 2 /e的問題，根據函數的單調性進行求解即可。
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．