Question

已知

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

求：
（Ⅰ）z=x+2y-4的最大值；
（Ⅱ）z=x²+y²-10y+25的最小值；
（Ⅲ）z=

2y+1

x+1

的范圍．

Answer 1

（Ⅰ）作出可行域如圖所示，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．
易知可行域內(nèi)各點(diǎn)均在直線x+2y-4=0的上方，故x+2y-4＞0，
將點(diǎn)C（7，9）代入z得最大值為21．（紅線部分）
（Ⅱ）z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)（x，y）到定點(diǎn)M（0，5）的距離的平方，
過M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，
故z的最小值是|MN|²=

9

2

．（綠線部分）
（Ⅲ）z=

2y+1

x+1

=2•

y+ 1 2

x+1

的幾何意義表示為區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)D（-1，-

1

2

）連線斜率的2倍．
由圖象可知DA的斜率最小為k=

7

4

，DB的斜率最大為k=

3

8

，
即

3

8

≤k≤

7

4

，
即

3

4

≤2k≤

7

2

，（藍(lán)色線部分）
即z的取值范圍是[

3

4

，

7

2

]．