Question

已知橢圓兩個焦點的坐標(biāo)分別為，，并且經(jīng)過點．過左焦點，斜率為的直線與橢圓交于，兩點．設(shè)，延長，分別與橢圓交于兩點．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；  （II）若點，求點的坐標(biāo)；
（III）設(shè)直線的斜率為，求證：為定值．

Answer 1

解：（I）因為橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由橢圓的定義知,
.  ----------------2分
所以，,
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.  ---------------4分
（II）直線的方程為，
代入橢圓方程，得
解得（舍），或.    --------------6分
代入直線的方程，得，
所以點的坐標(biāo)為.  ---------------7分
（III）設(shè)，，，，
直線的方程為，所以.
代入橢圓方程，消去得：
.   --------------8分
又因為點在橢圓上，有
方程化簡為.     -----------------9分
則，且，所以.
代入直線的方程，得，所以 .  -------------10分
同理，

.  ------------------12分
因為三點共線，所以.
即.  --------------------13分
所以，而.
所以為定值.  -------------------14分

略