Question

如圖，在四棱錐中，底面，
，，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；
（Ⅱ）證明平面；
（Ⅲ）求二面角的正弦值．

Answer 1

（1）（2）要證明線面垂直關(guān)鍵里用線面垂直的判定定理來得到證明。
（3）

解析試題分析：（Ⅰ）解：在四棱錐中，因底面，平面，故．又，，從而平面．
故在平面內(nèi)的射影為，
從而為和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小為．
（Ⅱ）證明：在四棱錐中，
因底面，平面，故．
由條件，，面．又面，．
由，，可得．是的中點(diǎn)，，
．綜上得平面．
（Ⅲ）解：過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．由（Ⅱ）知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．
因此是二面角的平面角．由已知，得．設(shè)，得
，，，．
在中，，，則
．在中，
考點(diǎn)：空間的線面角和二面角的平面角，垂直的證明
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)角的定義，作出角，并能證明，同時(shí)結(jié)合三角形來解得，屬于基礎(chǔ)題。