Question

已知函數．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若函數的圖像在點處的切線的傾斜角為，問：在什么范圍取值時，對于任意的，函數在區間上總存在極值？
（Ⅲ）當時，設函數，若在區間上至少存在一個，
使得成立，試求實數的取值范圍．

Answer 1

解：（Ι）由知：
當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；
當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；………………4分
（Ⅱ）由,
∴，.             ………………………6分
故，
∴,
∵ 函數在區間上總存在極值，
∴有兩個不等實根且至少有一個在區間內…………7分
又∵函數是開口向上的二次函數，且，∴ …………8分
由，∵在上單調遞減，所以
；∴，由，解得；
綜上得：所以當在內取值時，對于任意的，函數
在區間上總存在極值。………………………9分
（Ⅲ）令，則
.
① 當時，由得，從而,
所以，在上不存在使得；…………………11分
② 當時，,，

在上恒成立，故在上單調遞增。
故只要，解得綜上所述， 的取值范圍是

略