Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的極值；

（2）若函數在上是單調遞增函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時，無極值；當時，有極小值為，無極大值

（2）

【解析】

（1）根據解析式求得導函數，討論與兩種情況下導函數的符號，即可由單調性判斷函數的極值.

（2）將的解析式代入可得，并求得，根據函數在上是單調遞增函數可知，分離參數并構造函數，求得，即可判斷在上的單調性，進而由恒成立問題解法求得的取值范圍即可.

（1）函數．定義域為，

則，

當時，，所以在上單調遞增，無極值．

當時，令，解得，

若，解得；

若，解得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以函數有極小值為，無極大值．

綜上，當時，無極值；

當時，有極小值為，無極大值．

（2），

因為函數在上單調遞增，

所以，化簡得在上恒成立，

令，，

即在上單調遞減．

又，所以．

綜上．