Question

【題目】如圖，已知橢圓的一個頂點為，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢園C交于，兩點，直線與線的斜率之積為，證明：直線過定點，并求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，的面積的最大值.

【解析】

（1）求出后可得橢圓的方程.

（2）設MN：y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），與橢圓方程聯立化為（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，△＞0．由kBMkBN

利用根與系數的關系代入化簡可得：m2+2m﹣3＝0，解得m．再求得|MN|，點B到直線MN的距離d，可得S△BMN，通過換元利用基本不等式的性質即可得出．

（1）因為一個頂點為，故，又離心為，故即，

所以，故橢圓方程為：.

（2）若直線的斜率不存在，則設，

此時，與題設條件矛盾，故直線的斜率必存在.

設MN：y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯立，化為（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，

△＝16（4k2﹣m2+1）＞0，

∴x1+x2，∴x1x2．

∵kBMkBN

∴x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2＝0，

∴k（m﹣1）（m﹣1）2＝0，

化為m2+2m﹣3＝0，解得m＝﹣3或m＝1（舍去）．

即直線過定點（0，﹣3）

∴|MN|

點B到直線MN的距離d．

∴S△BMNMNd．

由m＝﹣3，△＞0，可知：k2﹣2＞0，令t＞0，

∴k2＝t2+2，

∴S，當且僅當t，即k＝±時，Smax．