【題目】已知短軸長為2的橢圓
，直線
的橫、縱截距分別為
，且原點到直線
的距離為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）直線
經過橢圓的右焦點
且與橢圓
交于
兩點，若橢圓
上存在一點
滿足
，求直線
的方程．
【答案】（1）
.（2）
或
.
【解析】試題分析：直線
的方程有參數
，利用原點到其距離為
可以得到
的大小，從而得到橢圓的方程．（2）中的
三點滿足向量關系式
，將各點坐標代入，可以得到三個點的坐標之間的關系，而
在橢圓上，所以
兩點的坐標滿足關系式
，再利用
兩點在直線
上，得到關于
的一個關系式，利用韋達定理轉化為
的方程可以解出
的值．
解析：（1）因為橢圓
的短軸長為2，故
.依題意設直線
的方程為： 
，由
.解得
，故橢圓的方程為
.
（2）設
當直線
的斜率為0時，顯示不符合題意.
當直線
的斜率不為0時， 
，設其方程為
，由
，得
，所以
①.
因為
，所以
.又點
在橢圓
上，∴
.又∵
，
∴
②，將
，及①代入②得
，即
或
.故直線
的方程為
或
.
第1卷單元月考期中期末系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知正方形
的邊長為
,點
分別在邊
上, 
與
的交點為
， 
,現將
沿線段
折起到
位置，使得
．
(1)求證：平面
平面
；
(2)求五棱錐
的體積；
(3)在線段
上是否存在一點
,使得
平面
？若存在，求
；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在一次趣味校園運動會的頒獎儀式上,高一、高二、高三代表隊人數分別為120人、120人、n人.為了活躍氣氛,大會組委會在頒獎過程中穿插抽獎活動,并用分層抽樣的方法從三個代表隊中共抽取20人在前排就座,其中高二代表隊有6人.
(1)求n的值;
(2)把在前排就座的高二代表隊6人分別記為a,b,c,d,e,f,現隨機從中抽取2人上臺抽獎.求a和b至少有一人上臺抽獎的概率;
(3)抽獎活動的規則是:代表通過操作按鍵使電腦自動產生兩個[0,1]之間的均勻隨機數x,y,并按如圖所示的程序框圖執行.若電腦顯示“中獎”,則該代表中獎;若電腦顯示“謝謝”,則不中獎,求該代表中獎的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一裝有水的直三棱柱
容器（厚度忽略不計），上下底面均為邊長為5的正三角形，側棱為10，側面
水平放置，如圖所示，點
， 
， 
， 
分別在棱
， 
， 
， 
上，水面恰好過點
， 
， 
， 
，且
．
（1）證明： 
；
（2）若底面
水平放置時，求水面的高．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線的焦點在x軸上，焦距為
，實軸長為2
（1）求雙曲線的標準方程與漸近線方程。
（2）若點 
在該雙曲線上運動，且
，
，求以 
，
為相鄰兩邊的平行四邊形 
的頂點 
的軌跡．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個袋中裝有
個形狀大小完全相同的小球，球的編號分別為
，
，
，
，
，．
（Ⅰ）若從袋中每次隨機抽取個球，有放回的抽取次，求取出的兩個球編號之和為的概率．
（Ⅱ）若從袋中每次隨機抽取個球，有放回的抽取次，求恰有次抽到號球的概率．
（Ⅲ）若一次從袋中隨機抽取個球，記球的最大編號為
，求隨機變量的分布列．
（Ⅳ）若從袋中每次隨機抽取個球，有放回的抽取次，記球的最大編號為，求隨機變量的分布列．
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