Question

【題目】如圖，OB、CD是兩條互相平行的筆直公路，且均與筆直公路OC垂直（公路寬度忽略不計），半徑OC＝1千米的扇形COA為該市某一景點區域，當地政府為緩解景點周邊的交通壓力，欲在圓弧AC上新增一個入口E（點E不與A、C重合），并在E點建一段與圓弧相切（E為切點）的筆直公路與OB、CD分別交于M、N．當公路建成后，計劃將所圍成的區域在景點之外的部分建成停車場（圖中陰影部分），設∠CON＝θ，停車場面積為S平方千米．

（1）求函數S＝f（θ）的解析式，并寫出函數的定義域；

（2）為對該計劃進行可行性研究，需要預知所建停車場至少有多少面積，請計算當θ為何值時，S有最小值，并求出該最小值．

Answer 1

【答案】（1）f（θ），θ∈（0，）（2）時，S取得最小值

【解析】

(1) 連接OE,根據平面幾何的性質分析邊角關系即可.

(2)根據(1)中的函數表達式,令tanθ＝t,再化簡利用基本不等式,根據“一正二定三相等”的方法求得最小值以及取最小值時的角度大小即可.

（1）連接OE,∵∠CON＝θ,∴,

CN＝NE＝tanθ,OM,

∴,

則f（θ）,θ∈（0,）；

（2）由f（θ）,θ∈（0,）．

令tanθ＝t,θ∈（0,）,則t∈（0,1）,

則S．

當且僅當,即t時,S取得最小值為,

此時tanθ,．