Question

【題目】若函數同時滿足下列兩個條件，則稱該函數為“和諧函數”:

（1）任意恒成立;

（2）任意且，都有

以下四個函數:①；②；③；④中是“和諧函數”的為________________（寫出所有正確的題號）.

Answer 1

【答案】③④

【解析】

先由單調性以及奇偶性定義得到 “和諧函數”滿足的條件，再以此為依據，分別判斷奇偶性以及單調性，即可判斷.

任意恒成立，則任意

即函數在上為奇函數

取，因為任意且，都有，所以在上增函數

①函數的定義域為，故①不是和諧函數；

②，令

，則函數在上為奇函數，但，即不是增函數，故②不是和諧函數；

③令，定義域為，則函數在上為奇函數；

設，

因為，所以，即

所以函數在上為增函數，故③為和諧函數；

④令，定義域為

，則函數在上為奇函數；

設，

因為，，所以

即

即函數在上為增函數，故④是和諧函數；

故答案為：③④