Question

【題目】已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且短軸長為6.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)是否存在斜率為1的直線l，使得l與曲線C相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）＋；（2）或.

【解析】

(1)根據題意，列出方程組，求得的值，即可求得橢圓的標準方程，得到答案。

(2)設直線的方程為，聯立方程組，利用判別式、根與系數的關系，以及＝0，列出方程求得的值，即可求解。

(1)由題意，橢圓的離心率為，且短軸長為，

所以，解得，

所以橢圓的標準方程為＋＝1.

(2)假設存在符合題意的直線與橢圓交于兩點，其方程為，

由，消去，化簡得，

∵直線與橢圓交于兩點，∴，

化簡得，∴－，，

∵以線段為直徑的圓恰到恰好經過原點，∴＝0，∴，

又，

，

解得，滿足，

∴或，

故符合題意的直線l存在，方程為或.