Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求直線與曲線圍成的區(qū)域面積；

（2）點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線、，切點(diǎn)分別為、，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析。

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)直接法求得曲線方程為，解方程組得到直線和曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)定積分可求得面積．（2）設(shè)、，結(jié)合題意求得切線的方程，根據(jù)切線方程的特點(diǎn)求出直線的方程，將直線的方程與聯(lián)立消元后得到二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得和后比較可得，從而得到結(jié)論．

試題解析：

（1） 設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，

由題意可得，

化簡(jiǎn)得，

故曲線的方程為．

由，解得或，

所以直線與曲線圍成的區(qū)域面積為．

（2）設(shè)、，

則由題意得切線的方程為，切線的方程為，設(shè)點(diǎn)，

從而有，

所以可得直線AB的方程為

即．

由消去y整理得，

又，

所以，

所以，

故，

= ，

所以．

故存在常數(shù)，使得成立．