Question

【題目】（12分）

已知函數（a為實數）.

（1）當時，求函數的圖像在處的切線方程；

（2）求在區間上的最小值；

（3）若存在兩個不等實數，使方程成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

（3）.

【解析】試題分析：（1）當時，對函數求導，再分別求出和，即可求得函數的圖像在處的切線方程；（2）先利用導數研究函數的單調性，再對進行分類討論，根據單調性，即可求得在區間上的最小值；（3）存在兩個不等實數，使方程成立等價于有兩個不等的解，令，利用導數研究函數的單調性，結合圖象，即可求得實數的取值范圍.

試題解析：(1)當時，，故切線的斜率為，所以切線方程為，即.

(2) ，

當時，在區間上，為增函數，所以，當時，在區間內，為減函數，在區間上，為增函數，所以.

(3)由，可得，則，令，則，

因為，所以，

所以實數的取值范圍為.