Question

【題目】已知函數f（x）=ax3+bx2的圖象經過點M（1，4），且在x=﹣2取得極值．
（ I）求實數a，b的值；
（ II）若函數f（x）在區間（m，m+1）上不單調，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2的圖象經過點M（1，4），∴a+b①

又f′（x）=3ax2+2bx，

則f′（﹣2）=0，即﹣6a+2b=0②

由①②解得a=1，b=3；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x3+3x2，f′（x）=3x2+6x

令f′（x）=3x2+6x=0，得：x=﹣2或x=0

當x∈（﹣∞，﹣2）或（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數，

當x∈（﹣2，0）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數．

∵函數f（x）在區間（m，m+1）上不單調，

∴m＜﹣2＜m+1或m＜0＜m+1或m＜﹣2＜0＜m+1

解得：﹣3＜m＜﹣2或﹣1＜m＜0

【解析】第一問根據函數圖象過點M,得到a,b關系，再根據在x=﹣2取得極值，函數求導，導數等于0，可得a,b;
第二問先應用導數與函數單調性的關系，求出函數的單調性，然后根據函數f(x)在區間（m，m+1）不單調，可得函數在（m，m+1）有增有減，可得。
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．