Question

【題目】對于數列 ， ， ， ，若滿足 ，則稱數列 為“ 數列”．
若存在一個正整數 ，若數列 中存在連續的 項和該數列中另一個連續的 項恰好按次序對應相等，則稱數列 是“ 階可重復數列”，
例如數列 因為 ， ， ， 與 ， ， ， 按次序對應相等，所以數列 是“ 階可重復數列”．
（I）分別判斷下列數列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．是否是“ 階可重復數列”？如果是，請寫出重復的這 項；
（II）若項數為 的數列 一定是 “ 階可重復數列”，則 的最小值是多少？說明理由；
（III）假設數列 不是“ 階可重復數列”，若在其最后一項 后再添加一項 或 ，均可 使新數列是“ 階可重復數列”，且 ，求數列 的最后一項 的值．

Answer 1

【答案】解：（I）

（Ⅱ）因為數列 的每一項只可以是 或 ，所以連續 項共有 種不同的情形．

若 ，則數列 中有 組連續 項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，即項數為 的數列 一定是“ 階可重復數列”；

若 ，數列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 不是“ 階可重復數列”；則 時，均存在不是“ 階可重復數列”的數列 ．

所以要使數列 一定是“ 階可重復數列”，則 的最小值是 ．

（III）由于數列 在其最后一項 后再添加一項 或 ，均可使新數列是“ 階可重復數列”，即在數列 的末項 后再添加一項 或 ，

則存在 ，使得 ， ， ， ， 與 ， ， ， ， 按次序對應相等，或 ， ， ， ， 與 ， ， ， ， 按次序對應相等，如果 ， ， ， 與 ， ， ， 不能按次序對應相等，

那么必有 ， ， ，使得 ， ， ， 、 ， ， ， 與 ， ， ， 按次序對應相等．

此時考慮 ， 和 ，其中必有兩個相同，這就導致數列 中有兩個連續的五項恰按次序對應相等，從而數列 是“ 階可重復數列”，這和題設中數列 不是“ 階可重復數列”矛盾！

所以 ， ， ， 與 ， ， ， 按次序對應相等，從而

【解析】(1)由題意觀察可得該數列是5階可重復數列。(2)根據題意列驗證舉即可得出數列 { an } 一定是“ 3 階可重復數列”，則 m 的最小值是 11。(3)根據題意利用假設法結合已知推導出數列 { an } 是“ 5 階可重復數列”，這和題設中數列 { an } 不是“ 5 階可重復數列”矛盾進而得出假設不成立即得結果。