Question

【題目】已知向量 =（cosα，﹣1）， =（2，sinα），其中 ，且 ．
（1）求cos2α的值；
（2）若sin（α﹣β）= ，且 ，求角β．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（cosα，﹣1）， =（2，sinα），其中 ，且 ．

∴ =2cosα﹣sinα=0，

∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，∴cos2α= ，

∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣ ．

（2）解：∵cos2α= ， ，∴cosα= ，sinα= = ，

∵sin（α﹣β）= ，且 ，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ= ，

∴2cosβ﹣sinβ= ，∴sinβ=2cos ，∴sin2β+cos2β=5cos2β﹣2 ﹣ =0，解得cosβ= 或cosβ=﹣ （舍），

∵ ，∴β=

【解析】1、由向量垂直的坐標表示可求得cos2α= 再根據二倍角公式得到結果。
2、根據同角三角函數的基本關系可得sinα的值，再由兩角和差的正弦公式得到sinβ=2cos β 的關系，代入sin2β+cos2β=1解得cosβ=，再由 β的范圍可得 β=。

【考點精析】根據題目的已知條件，利用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直．