Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分別是AB，A1C的中點.

（1）求證：直線MN⊥平面ACB1；

（2）求點C1到平面B1MC的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）

【解析】

（1）連接AC1，BC1，結合中位線定理可證MN∥BC1，再結合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質分別求證AC⊥BC1，BC1⊥B1C，即可求證直線MN⊥平面ACB1；

（2）作交于點，通過等體積法，設C1到平面B1CM的距離為h，則有，結合幾何關系即可求解

（1）證明：連接AC1，BC1，則N∈AC1且N為AC1的中點；

∵M是AB的中點.

所以：MN∥BC1；

∵A1A⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴A1A⊥AC，

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC，

∴AC⊥CC1，

∵∠ACB＝90°，BC∩CC1＝C，BC平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，

∴AC⊥平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，

∴AC⊥BC1；又MN∥BC1

∴AC⊥MN，

∵CB＝C1C＝1，

∴四邊形BB1C1C正方形，

∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C，

而AC∩B1C＝C，且AC平面ACB1，CB1平面ACB1，

∴MN⊥平面ACB1，

（2）作交于點，設C1到平面B1CM的距離為h，

因為MP，

所以MP，

因為CM，B1C；

B1M，所以

所以：CMB1M.

因為，所以，解得

所以點，到平面的距離為