Question

【題目】已知函數.

（1）若是的極值點，求的極大值；

（2）求實數的范圍，使得恒成立.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）先對函數求導，結合極值存在的條件可求t，然后結合導數可研究函數的單調性，進而可求極大值；

（2）由已知代入可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0時恒成立，構造函數g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，結合導數及函數的性質可求.

（1），x＞0，

由題意可得，0，解可得t＝﹣4，

∴，

易得，當x＞2，0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數單調遞增，當1＜x＜2時，f′（x）＜0，函數單調遞減，

故當x＝1時，函數取得極大值f（1）＝﹣3；

（2）由f（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx+2≥2在x＞0時恒成立可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0時恒成立，

令g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，則，

（i）當t≥0時，g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

所以g（x）min＝g（1）＝t﹣1≥0，解可得t≥1，

（ii）當﹣2＜t＜0時，g（x）在（）上單調遞減，在（0，），（1，+∞）上單調遞增，

此時g（1）＝t﹣1＜﹣1不合題意，舍去；

（iii）當t＝﹣2時，g′（x）0，即g（x）在（0，+∞）上單調遞增，此時g（1）＝﹣3不合題意；

（iv）當t＜﹣2時，g（x）在（1，）上單調遞減，在（0，1），（）上單調遞增，此時g（1）＝t﹣1＜﹣3不合題意，

綜上，t≥1時，f（x）≥2恒成立.