【題目】設(shè)函數(shù)
，其中
，
.
（1）若
，求
的極值；
（2）若曲線
與直線
有三個互異的公共點，求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】（1）極大值為
，極小值為
；（2）
【解析】
（1）把
代入
后求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，進而可以求得極值；
（2）將公共點轉(zhuǎn)化為零點問題，構(gòu)造函數(shù)
，求導(dǎo)判斷
的單調(diào)性，結(jié)合零點定理即可求出
的取值范圍.
（1）當(dāng)時，
，
，
令
，解得
，或
；
當(dāng)
變化時，
，
的變化情況如下表；
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | ﹣ | 0 | + |
| 單調(diào)增 | 極大值 | 單調(diào)減 | 極小值 | 單調(diào)增 |
∴
的極大值為
，
極小值為
；
（2）由題意，曲線與直線
有三個互異的公共點，
可轉(zhuǎn)化為
令
，可得
；
設(shè)函數(shù)，
即函數(shù)
有三個不同的零點；
，
當(dāng)
時，
恒成立，此時
在
上單調(diào)遞增，不合題意
當(dāng)
時，令
，解得
，
；
，解得
，或
，
，解得
，
∴在
和
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，
∴的極大值為
；
極小值為
若
，由的單調(diào)性可知，函數(shù)至多有兩個零點，不合題意；
若
，即
，解得
此時
，
，
，
從而由零點定理知，
在區(qū)間
，，
內(nèi)各有一個零點，符合題意；
∴的取值范圍是
.
優(yōu)加精卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某手機企業(yè)為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費用，統(tǒng)計了近
年投入的年研發(fā)費用
千萬元與年銷售量
千萬件的數(shù)據(jù)，得到散點圖1，對數(shù)據(jù)作出如下處理：令
，
，得到相關(guān)統(tǒng)計量的值如圖2：
（1）利用散點圖判斷
和
哪一個更適合作為年研發(fā)費用和年銷售量的回歸類型（不必說明理由），并根據(jù)數(shù)據(jù)，求出與的回歸方程；
（2）已知企業(yè)年利潤
千萬元與
的關(guān)系式為
（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)），根據(jù)（1）的結(jié)果，要使得該企業(yè)下一年的年利潤最大，預(yù)計下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費用？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某種設(shè)備隨著使用年限的增加，每年的維護費相應(yīng)增加現(xiàn)對一批該設(shè)備進行調(diào)查，得到這批設(shè)備自購入使用之日起，前5年平均每臺設(shè)備每年的維護費用大致如下表：
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維護費 | 1.1 | 1.6 | 2 | 2.5 | 2.8 |
（1）在這5年中隨機抽取兩年，求平均每臺設(shè)備每年的維護費用至少有1年多于2萬元的概率；
（2）求
關(guān)于
的線性回歸方程．若該設(shè)備的價格是每臺16萬元，你認(rèn)為應(yīng)該使用滿五年換一次設(shè)備，還是應(yīng)該使用滿八年換一次設(shè)備？請說明理由．
參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程
的系數(shù)公式
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于定義域為
的函數(shù)
，若同時滿足下列條件：①在內(nèi)有單調(diào)性；②存在區(qū)間
，使在區(qū)間
上的值域也為，則稱為上的精彩函數(shù)，為函數(shù)的精彩區(qū)間．
（1）求精彩區(qū)間
符合條件的精彩區(qū)間；
（2）判斷函數(shù)
是否為精彩函數(shù)？并說明理由．
（3）若函數(shù)
是精彩函數(shù)，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】
市某機構(gòu)為了調(diào)查該市市民對我國申辦
年足球世界杯的態(tài)度，隨機選取了
位市民進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：
支持 | 不支持 | 合計 | |
男性市民 |
| ||
女性市民 |
| ||
合計 |
|
|
（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；
（2）利用（1）完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問題：
（i）能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān)；
（ii）已知在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有
位退休老人，其中
位是教師，現(xiàn)從這位退休老人中隨機抽取
人，求至多有
位老師的概率.
附：
，其中
.
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|
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|
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知等差數(shù)列
和等比數(shù)列
的各項均為整數(shù)，它們的前
項和分別為
，且
，
.
（1）求數(shù)列，的通項公式；
（2）求
；
（3）是否存在正整數(shù)
，使得
恰好是數(shù)列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若曲線
在點
處的切線平行于
軸，求
的值；
（2）求函數(shù)
的極值；
（3）當(dāng)
時，若直線
與曲線沒有公共點，求
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在四邊形
中，
，
；如圖，將
沿
邊折起，連結(jié)
，使
，求證：
（1）平面
平面
；
（2）若
為棱
上一點，且
與平面
所成角的正弦值為
，求二面角
的大小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分別是AB，A1C的中點.
（1）求證：直線MN⊥平面ACB1；
（2）求點C1到平面B1MC的距離.
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