Question

【題目】2019年12月份，我國湖北武漢出現了新型冠狀病毒，人感染后會出現發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，嚴重的可導致肺炎甚至危及生命.為了增強居民防護意識，增加居民防護知識，某居委會利用網絡舉辦社區線上預防新冠肺炎知識答題比賽，所有居民都參與了防護知識網上答卷，最終甲、乙兩人得分最高進入決賽，該社區設計了一個決賽方案：①甲、乙兩人各自從個問題中隨機抽個.已知這個問題中，甲能正確回答其中的個，而乙能正確回答每個問題的概率均為，甲、乙兩人對每個問題的回答相互獨立、互不影響；②答對題目個數多的人獲勝，若兩人答對題目數相同，則由乙再從剩下的道題中選一道作答，答對則判乙勝，答錯則判甲勝.

（1）求甲、乙兩人共答對個問題的概率；

（2）試判斷甲、乙誰更有可能獲勝？并說明理由；

（3）求乙答對題目數的分布列和期望.

Answer 1

【答案】（1）（2）乙勝出的可能性更大，詳見解析（3）分布列見解析；期望為

【解析】

（1）利用互斥事件概率加法公式、次獨立重復試驗中事件恰好發生次概率計算公式能求出甲、乙兩名學生共答對2個問題的概率．

（2）設甲獲勝為事件，則事件包含“兩人共答題甲獲勝”和“兩人共答題甲獲勝”兩類情況，其中第一類包括甲乙答對題個數比為，，，，，六種情況，第二類包括前三題甲乙答對題個數比為，，三種情況，計算出甲獲勝的概率，再根據對立事件的概率公式求出乙獲勝的概率即可判斷；

（3）設學生乙答對的題數為，則的所有可能取值為，計算出相應的概率，列出分布列，即可求出數學期望；

（1）甲、乙共答對個問題分別為：兩人共答題，甲答對個，乙答對個；兩人共答題，甲答對個，乙答對個.

所以甲、乙兩保學生共答對個問題的概率：

.

（2）設甲獲勝為事件，則事件包含“兩人共答題甲獲勝”和“兩人共答題甲獲勝”兩類情況，其中第一類包括甲乙答對題個數比為，，，，，六種情況，第二類包括前三題甲乙答對題個數比為，，三種情況，所以甲獲勝的概率

，

設乙獲勝為事件，則為對立事件，

所以，

所以乙勝出的可能性更大.

（3）設學生乙答對的題數為，則的所有可能取值為，

所以隨機變量的分布列為

	0	1	2	3	4

所以期望.