Question

【題目】已知橢圓在左、右焦點分別為，，動點在橢圓上，的周長為6，且面積的最大值為.

（1）求的方程；

（2）設直線與的另一個交點為，過，分別作直線的垂線，垂足為，，與軸的交點為.若，，的面積成等差數列，求直線斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由題意列關于a，b的方程組，即可得到的方程；

(2) 設直線的方程為，聯立方程可得，利用韋達定理表示條件，以，進而得到直線斜率的取值范圍.

（1）因為是上的點，且，為的左、右焦點，所以，

又因為，的周長為6，

所以，

當為短軸端點時，的面積最大，

所以，

又因為，解得，，，

所以的方程為.

（2）依題意，直線與軸不重合，故可設直線的方程為，

由消去得：，

設，，則有且，.

設，，的面積分別為，，，

因為，，成等差數列，所以，即，

則 ，

即，得，

又，，于是，

所以，由得，解得，

設直線的斜率為，則，所以，

解得或，

所以直線斜率的取值范圍是.