Question

【題目】已知，若，則的最小值為__________；若，則的最大值為__________．

Answer 1

【答案】8

【解析】

根據題意，由基本不等式的性質可得4＝x+2y≥2，變形可得2xy，進而可得x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，分析可得第一個空；再利用柯西不等式求得第二個式子的最值.

根據題意，x，y∈R+，且x+2y＝4，則有4＝x+2y≥2，變形可得2xy，（當且僅當x＝2y時等號成立）

x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，

又由4xy，則有x2+4y2，

即x2+4y2的最小值為8；

若，則由柯西不等式得

（）（1+），（當且僅當x＝4y時等號成立），

所以4

即的最大值為，

故答案為：(1). 8 (2). ．