Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）經過點（ ，1），且離心率為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設M、N是橢圓C上的點，直線OM與ON（O為坐標原點）的斜率之積為﹣ ，若動點P滿足 ，試探究，是否存在兩個定點F1 ， F2 ， 使得|PF1|+|PF2|為定值？若存在，求F1 ， F2的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C： =1（a＞b＞0）經過點（ ，1），且離心率為 ，
∴ ，解得a=2，b= ，
∴橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）設P（x，y），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
則由 ，得x=x1+2x2 ， y=y1+2y2 ，
∵M，N都在橢圓 上，
∴ ，
∴ （ ）
=（ ）+4（ ）+4（x1x2+2y1y2）
=20+4（x1x2+2y1y2），
設 =﹣ ，∴x1x2+2y1y2=0，
∴x2+2y2=20，∴點P是橢圓 上的點，
∴由橢圓的定義知存在點F1 ， F2 ， 滿足|PF1|+|PF2|=2 =4 為定值，
又∵|F1F2|=2 =2 ，
∴F1 ， F2的坐標分別為F1（﹣ ，0），F2（ ，0）
【解析】（Ⅰ）由橢圓經過點（ ，1），且離心率為 ，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）由 ，得x=x1+2x2 ， y=y1+2y2 ， 由M，N都在橢圓 上，設 =﹣ ，得到點P是橢圓 上的點，由此能求出F1 ， F2的坐標．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．