Question

【題目】長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一點．
（1）求異面直線AC與B1D所成的角；
（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱錐A﹣CDE的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．

依題意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），

∴ ，

∴ ，

∴異面直線AC與B1D所成的角為 ．

（2）解：設E（0，0，a），則 ，

∵B1D⊥平面ACE，AE平面ACE，∴B1D⊥AE．

∴ ，∴﹣1+2a=0， ．

∴VA﹣CDE=VE﹣ADC= = ．

【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角即可得到此兩條異面直線所成的角；（2）利用線面垂直的性質定理即可得到點E的坐標，利用VA﹣CDE=VE﹣ADC即可得到體積．
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．