Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的實義域為R，其圖象關(guān)于點（﹣1，0）中心對稱，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＜﹣1時，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0．則不等式xf（x﹣1）＞f（0）的解集為（ ）
A.（1，+∞）
B.（﹣∞，﹣1）
C.（﹣1，1）
D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意設(shè)g（x）=（x+1）f（x），
則g′（x）=f（x）+（x+1）f′（x），
∵當(dāng)x＜﹣1時，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0，
∴當(dāng)x＜﹣1時，f（x）+（x+1）f′（x）＞0，
則g（x）在（﹣∞，﹣1）上遞增，
∵函數(shù)f（x）的定義域為R，其圖象關(guān)于點（﹣1，0）中心對稱，
∴函數(shù)f（x﹣1）的圖象關(guān)于點（0，0）中心對稱，
則函數(shù)f（x﹣1）是奇函數(shù)，
令h（x）=g（x﹣1）=xf（x﹣1），
∴h（x）是R上的偶函數(shù)，且在（﹣∞，0）遞增，
由偶函數(shù)的性質(zhì)得：函數(shù)h（x）在（0，+∞）上遞減，
∵h（1）=f（0），∴不等式xf（x﹣1）＞f（0）化為：h（x）＞h（1），
即|x|＜1，解得﹣1＜x＜1，
∴不等式的解集是（﹣1，1），
故選C．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．