Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣x+2 ．
（Ⅰ）求函數y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）令g（x）= +lnx，若函數y=g（x）在（e，+∞）內有極值，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（1）=13﹣1+2×1=2．

∴函數y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：
y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0．
（Ⅱ）解：
定義域為（0，1）∪（1，+∞）
∴
設h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有極值，
則 h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有兩個不同的實根x1 ， x2 ，
∴△=（a+2）2﹣4＞0∴a＞0或a＜﹣4①
而且一根在區間（e，+∞）上，不妨設x2＞e，又因為x1x2=1，∴ ，
又h（0）=1，
∴
聯立①②可得：
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，當x∈（1，x2），g'（x）＜0，∴g（x）單調遞減，
x∈（x2+∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增
∴g（x）在（1，+∞）上有最小值g（x2）即t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x2）
又當x∈（0，x1），g'（x）＞0∴g（x）單調遞增，當x∈（x1 ， 1），g'（x）＜0，∴g（x）單調遞減，
∴g（x）在（0，1）上有最大值g（x1）即對s∈（0，1），都有g（s）≤g（x1）
又∵x1+x2=2+a，x1x2=1，x1∈（0， ），x2∈（e，+∞），
∴ =
=
，
∴ ，
∴k（x）在（e，+∞）上單調遞增，∴
∴
【解析】（Ⅰ）求出切點坐標，求出導數，得到切線的斜率，然后求解函數y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．（Ⅱ）化簡g（x）的表達式，求出定義域，求出導函數，構造函數h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有極值，轉化為 h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有兩個不同的實根x1 ， x2 ， 利用判別式推出a的范圍，判斷兩個根的范圍，然后求解a 的范圍．（Ⅲ）轉化已知條件為t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x2），通過函數的單調性以及最值，推出 = ，構造函數 ，利用導數以及單調性求解即可．
【考點精析】關于本題考查的函數的極值與導數，需要了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．