Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，過點且垂直于軸的弦長為3，直線與圓相切，且與橢圓交于，兩點，為橢圓的右頂點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）用，分別表示和的面積，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）6

【解析】

（Ⅰ）利用條件，求得，，的值，從而得到橢圓的標準方程；

（Ⅱ）先分斜率存在和不存在兩種情況討論直線方程，當斜率不存在時，求出的值，當斜率存在時，設出直線方程，利用直線與圓相切，得到直線中，的等量關系，然后將直線方程與橢圓方程進行聯立，通過消元化簡，得到根與系數的關系，求得直線與橢圓相交所得弦的長度及點到直線的距離，然后利用面積公式并通過換元，結合對勾函數的性質求得最小值．

解：（Ⅰ）由已知得，，結合，得，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）當斜率不存在時，，得．

當斜率存在時，設直線的方程為，，

由與圓相切，得，整理得（*）

將的方程與橢圓的方程聯立得

所以，．

則

設為到直線的距離，則

所以

將（*）式代入得

令

所以．

綜上，的最大值為6．