Question

【題目】已知數列滿足，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）若，記數列的前項和為，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）利用導數證明出不等式對任意的恒成立，然后利用數學歸納法可證得；

（Ⅱ）利用分析法，得出，然后構造函數，利用導數證明出在區間上單調遞增，進而可得出，即可證得結論；

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可推導出，再由可得出，再利用放縮法結合等比數列的求和公式證明結論．

（Ⅰ）設，其中，，

所以，函數在區間上單調遞增，則，則.

再用數學歸納法證明.

①因為，所以，由知；

②假設當時，，

則當時，因為，所以，

由得，

綜上由①②知對一切恒成立；

（Ⅱ）要證，即證，其中，

令，則，

所以，函數在區間上單調遞增，從而，

即，得證；

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，.

因為當時，，

又，所以，所以，

構造數列，則，即，

所以，數列從第項開始單調遞減，此時，，則，

則，可得，

從而，

又時，，所以得證．