Question

【題目】設函數（x∈R，實數a∈[0，+∞），e=2.71828…是自然對數的底數，）．

（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）若ex≥lnx+m對任意x＞0恒成立，求證：實數m的最大值大于2.3．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）分離參數，構造函數，利用導數求出函數的最值，問題得以解決；

（Ⅱ）構造函數設，利用導數求出函數的最值，即可證明．

（Ⅰ）∵，f（x）≥0在x∈R上恒成立，∴a≤，

設h（x）=，∴h′（x）=，令h′（x）=0，解得x=，

當x＞，即h′（x）＞0，函數單調遞增，

當x＜，即h′（x）＜0，函數單調遞減，

∴h（x）min=h（）=，∴0＜a≤，

故a的取值范圍為；

（Ⅱ）設，

∴，g'（x）＞0，可得；g'（x）＜0，可得．

∴g（x）在（，+∞）上單調遞增；在上單調遞減．

∴g（x）≥g（）=，∵，

∴＞1.6，∴g（x）＞2.3．

由（Ⅰ）可得exx，

∴ex﹣lnx的最小值大于2.3，

故若ex≥lnx+m對任意x＞0恒成立，則m的最大值一定大于2.3．