Question

【題目】若存在實數k，b，使得函數和對其定義域上的任意實數x同時滿足：且，則稱直線：為函數和的“隔離直線”.已知，（其中e為自然對數的底數）.試問：

（1）函數和的圖象是否存在公共點，若存在，求出交點坐標，若不存在，說明理由；

（2）函數和是否存在“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）存在，交點坐標為；（2）存在，

【解析】

（1）構造函數，求導得到函數的單調區間，得到函數在處取得最小值為0，得到答案.

（2）設直線，根據得到，再證明恒成立，令，求導得到單調區間，計算最值得到證明.

（1）∵，

∴，令，得，

當時，，時，，

故當時，取到最小值，最小值是0，

從而函數和的圖象在處有公共點，交點坐標為.

（2）由（1）可知，函數和的圖象在處有公共點，

因此存在和的隔離直線，那么該直線過這個公共點，

設隔離直線的斜率為k，則隔離直線方程為，

即，

由，可得在上恒成立，

則，只有，

此時直線方程為：，下面證明恒成立，

令，

，當時，，

當時，函數單調遞減；時，，函數單調遞增，

則當時，取到最小值是0，

所以，則當時恒成立.

∴函數和存在唯一的隔離直線.