Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為4，F₁F₂分別是橢圓C的左，右焦點，直線y=x與橢圓C在第一象限內的交點為A，△AF₁F₂的面積為2

6

，點P（x₀，y₀），是橢圓C上的動點w．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若∠F₁PF₂為鈍角，求點P的橫坐標x₀的取值范圍；
（3）求

3

PF₁+

2

PA的最小值．

Answer 1

（1）∵2b=4，∴b=2，①
由題意，設A（x，x）（x＞0），則

x2

a2

+

x2

b2

=1，②
△AF₁F₂的面積為2

6

，∴cx=2

6

③，
由①②③得：a=2

3

，橢圓C的方程為：

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）設p（x，y），則 F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），
且∠F₁PF₂是鈍角
?PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²?（x+2

2

）²+y²+（x-2

2

）²+y²＜32
?x²+y²＜8?-

3

＜x＜

3

．
（3）橢圓

x2

12

+

y2

4

=1與y=x（x＞0）解得A（

3

，

3

），
自P作橢圓左準線的垂線，垂足為H，∵

PF1

PH

=

c

a

=

2

3

，
左準線方程：x=-3

2

，
∴

3

PF₁+

2

PA即為：

2

（PH+PA）
當A，P，H三點共線時，其和最小，
|PA|+|PB|的最小值為|AB|，
因點A到左準線的距離為：

3

+3

2

，
∴

3

PF₁+

2

PA的最小值

2

（

3

+3

2

）=6+

6

．