Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，P是橢圓上的一點，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比數列，則橢圓的離心率的取值范圍為（　　）

A．[ 1 2 ， 2 2 ]

B．[ 5 -1， 1 2 ]

C．[ 2 -1， 1 2 ]

D．[ 5 5 ， 1 2 ]

Answer 1

設點P的坐標為（m，n），
∵P是橢圓上的一點，F₁，F₂分別為橢圓的左右焦點，
∴由橢圓的第二定義，得|PF₁|=a+em，|PF₂|=a-em，
∵|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比數列，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|•|PF₂|，即4c²=（a+em）（a-em）
可得4c²=a²-e²m²，即e²m²=a²-4c²，
∵0≤m²≤a²，可得0≤e²m²≤e²a²，∴0≤a²-4c²≤e²a²，
各項都除以a²得0≤1-4e²≤e²，解之得

1

5

≤e²≤

1

4

，
∴

5

5

≤e≤

1

2

，即橢圓的離心率的取值范圍為[

5

5

，

1

2

]．
故選：D