Question

橢圓焦點在x軸上，A為該橢圓右頂點，P在橢圓上一點，∠OPA=90°，則該橢圓的離心率e的范圍是（　　）

A．[ 1 2 ，1）

B．（ 2 2 ，1）

C．[ 1 2 ， 6 3 ）

D．（0， 2 2 ）

Answer 1

可設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
設P（x，y），∵∠OPA=90°，∴點P在以OA為直徑的圓上．
該圓為：(x-

a

2

)2+y2=(

a

2

)2，化為x²-ax+y²=0．
聯立

x2-ax+y2=0 x2 a2 + y2 b2 =1

化為（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，
則ax=

-a2b2

b2-a2

，解得x=

ab2

c2

，
∵0＜x＜a，∴0＜

ab2

c2

＜a，
化為c²＞b²=a²-c²，
∴e2＞

1

2

，又1＞e＞0．
解得

2

2

＜e＜1．
∴該橢圓的離心率e的范圍是(

2

2

，1)．
故選：C．