Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E： =1（a＞b＞0）的左頂點為A（﹣2，0），離心率為 ，過點A的直線l與橢圓E交于另一點B，點C為y軸上的一點．

（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若△ABC是以點C為直角頂點的等腰直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得： ，從而有b2=a2﹣c2=3，

所以橢圓E的標準方程為：

（2）解：設直線l的方程為y=k（x+2），代入為： ，

得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0

因為x=﹣2為該方程的一個根，解得B（ ， ），

設C（x0，y0），由kACkBC=﹣1，得： ，

即：（3+4k2）y02﹣12ky0+（16k2﹣12）=0 ①

由AC=BC，即AC2=BC2，得4+y02=（ ）2+（y0﹣ ）2，

即4= +（ ）2﹣ ，

即4（3+4k2）2=（6﹣8k2）2+144k2﹣24（3+4k2）y0…①，

所以k=0或y0= ，

當k=0時，直線l的方程為y=0，

當y0= 時，代入①得16k4+7k2﹣9=0，解得k= ，

此時直線l的方程為y=± （x+2）

綜上，直線l的方程為y=0，y=± （x+2）

【解析】(1)根據橢圓的特性可得a、b的值進而得到橢圓的方程。（2）聯立橢圓和直線的方程，點A在橢圓上，解得點B的坐標，利用設而不求法設出點C
的坐標，根據兩條直線垂直斜率值即為-1得到關于x0、y0的一個方程，根據AC=BC得到另一個關于x0、y0的方程，聯立兩式解得k和y0的值，分情況討論
當k=0時，直線l的方程為y=0，當時，求出k= ± ，進而得到直線的方程。