Question

【題目】市實施全域旅游，將鄉村旅游公路建設與特色田園鄉村發展結合，精心打造全長365公里的“1號公路”，對內串聯區域內主要景區景點和自然村，對外通達周邊縣（市），以路引景、為景串線，形成一個“大環小圈、內連外引”的路網體系.如今的“1號公路”，不僅成為該市旅游業的“顏值擔當”，更成為推動鄉村振興的“實力擔當”，農村居住環境日益改善，新農村別墅隨處可見.圖①是一棟新農村別墅，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成.如圖②，屋頂由四坡屋面構成，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形.點在平面和上的射影分別為（即：平面，垂足為；，垂足為）.已知，梯形的面積是面積的2.2倍..

（1）當時，求屋頂面積的大小；

（2）求屋頂面積關于的函數關系式；

（3）已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數為（為正的常數），下部主體造價與其高度成正比，比例系數為.現欲造一棟上、下總高度為的別墅，試問：當為何值時，總造價最低？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）首先根據已知得到，根據得到，再計算屋頂面積即可.

（2）首先利用表示出，從而得到的面積為，再由已知條件即可得到屋頂面積關于的函數關系式.

（3）首先根據題意得到：別墅總造價為，再利用換元法和三角函數的性質即可得到最小值.

（1）由題意平面.

又因為平面，得.

在中，，

所以.

因此的面積為.

則屋頂面積

（2）在中，，

所以.

因此的面積為.

從而屋頂面積.

所以屋頂面積關于的函數關系式.

（3）在中，，所以主體高度為.

所以別墅總造價為

.

令，則.

設，由三角函數定義可知點是單位圓上一個動點，

可知為經過點與點的直線的斜率.

直線的方程為，即.

因為直線與單位圓相切或相交，

所以單位圓圓心到直線的距離，

所以，解得或.

因為，所以，所以.

所以，

當且僅當時取“”

此時，即.

因為，因為.

即時有最小值.

答：當時，總造價最低.