Question

【題目】設函數是偶函數.

（1）若不等式對任意實數成立，求實數的取值范圍；

（2）設函數，若在上有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據偶函數得到，化簡得到，根據函數的單調性得到答案.

（2）題目等價于在上有解，令，則，令，則在上單調遞增，，，根據函數的單調性得到答案.

（1）是偶函數，

故，故.

不等式即為，即，

因為，當且僅當時，取等號，所以，

由函數在上是增函數知的最小值為3，

所以，故實數的取值范圍是.

（2）在上有零點，

即為在上有解，

因為，所以，

所以條件等價于在上有解.

令，則，令，則在上單調遞增，.

設，任取，則，

.

若，則，所以，即在上單調遞增；

若，則，所以，即在上單調遞減.

所以函數在時取得最小值，且最小值，所以，

從而，滿足條件的實數的取值范圍是.