Question

【題目】已知橢圓C：mx2+3my2=1（m＞0）的長軸長為 ，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程和離心率．
（2）設點A（3，0），動點B在y軸上，動點P在橢圓C上，且點P在y軸的右側．若BA=BP，求四邊形OPAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知橢圓C： ，

所以 ， ，

故 ，解得 ，

所以橢圓C的方程為 ．

因為 ，所以離心率

（2）

解：設線段AP的中點為D．

因為BA=BP，所以BD⊥AP．

由題意知直線BD的斜率存在，

設點P的坐標為（x0，y0）（y0≠0），

則點D的坐標為 ，直線AP的斜率 ，

所以直線BD的斜率 ，

故直線BD的方程為 ．

令x=0，得 ，故 ．

由 ，得 ，化簡得 ．

因此，S四邊形OPAB=S△OAP+S△OAB=

= = = ．

當且僅當 時，即 時等號成立．

故四邊形OPAB面積的最小值為

【解析】（1）將橢圓方程化為標準方程，由題意可得a，可得b，即可得到橢圓方程，再由離心率公式計算即可得到所求值；（2）設AP中點為D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，進而得到BD的斜率和中點，可得直線BD的方程，即有B的坐標，求得四邊形OPAB的面積為S=S△OAP+S△OMB ， 化簡整理，運用基本不等式即可得到最小值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．