Question

【題目】已知圓C的圓心坐標且與線y=3x+4相切，

（1）求圓C的方程；

（2）設直線與圓C交于M，N兩點，那么以MN為直徑的圓能否經過原點，若能，請求出直線MN的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（x-2）2+y2=10（2）y=-x+1+或y=-x+1-

【解析】

（1）由直線與圓相切得，圓心到直線的距離即為半徑，從而得解；

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），進而通過直線與圓聯立得到2x2-（4+2m）x+m2-6=0，由韋達定理可得MN中點H的坐標為（，），假設以MN為直徑的圓經過原點，則有|OH|=|MN|，進而由垂徑定理及坐標表示距離列方程求解即可.

（1）根據題意，

所以圓的標準方程為：（x-2）2+y2=10；

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2）是直線y=-x+m與圓C的交點，

聯立y=-x+m與（x-2）2+y2=10可得：2x2-（4+2m）x+m2-6=0，

則有x1+x2=m+2，x1x2=，

則MN中點H的坐標為（，），

假設以MN為直徑的圓經過原點，則有|OH|=|MN|，

圓心C到MN的距離d=，

則有|MN|=2=2，

又由|OH|=|MN|，

則有（）2+（）2=10-，

解可得m=1±，

經檢驗，m=1±時，直線與圓相交，符合題意；

故直線MN的方程為：y=-x+1+或y=-x+1-．